ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TRIỆU PHONG
Câu 1 (1,5 điểm )
Cho ba số a,b,c thoả mản điều kiện sau : a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 18
Tính a4 + b4  + c4
Câu 2:(2 điểm ) a, b, c, d là các số nguyên thỏa a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c.
Chứng minh rằng:
a) a2 + b2 + c2 + d2 là tổng của ba số chính phương.
b) bc ≥ ad.
Câu 3(2 điểm):
Cho a, b là hai số thực sao cho a3 + b3 = 2. Chứng minh 0 < a + b ≤ 2.

Câu 4(2,5 điểm )
Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1. Trên cạnh AC lấy các điểm D, E sao cho
( ABD = ( CBE = 200. Gọi M là trung điểm của BE và N là điểm trên cạnh BC sao BN = BM. Tính tổng diện tích hai tam giác BCE và tam giác BEN.

Câu 5 (2điểm )
Cho hình thang ABCD (AD // CB và AD > BC) có các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại I. Trên đáy AD lấy điểm M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình EF của hình thang. Chứng minh rằng ∆MAC cân tại M.


ĐÁP ÁN
Ta có: a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 18 suy ra ab + ac + bc = - ( a2 + b2 + c2 ) : 2 = -9
( 0,5đ)
a2b2 + a2c2 + b2c2 = ( ab+ac+bc)2- 2 abc( a +b+c) = 81 (0,5 đ)
a4 + b4 + c4 = ( a2 + b2  + c2 ) 2 - 2 ( a2b2 + a2c2 + b2c2 ) = 162 ( 0,5)

Câu 2 a : Cho a, b, c, d là các số nguyên thoả a ≤ b ≤ c ≤ d và a + d = b + c.
a) Vì a ≤ b ≤ c ≤ d nên ta có thể đặt a = b – k và d = c + h (h, k ( N) (0,25đ)
Khi đó do a + d = b + c ( b + c + h – k = b + c ( h = k.
Vậy a = b – k và d = c + k. (0,25đ)
Do đó: a2 + b2 + c2 + d2 = (b – k)2 + b2 + c2 + (c + k)2
= 2b2 + 2c2 + 2k2 – 2bk + 2ck
= b2 + 2bc + c2 + b2 + c2 + k2 – 2bc – 2bk + 2ck + k2
= (b + c)2 + (b – c – k)2 + k2 là tổng của ba số chính phương (do b + c, b – c – k và k là các số nguyên) (0,75 đ)
b) Ta có ad = (b – k)(c + k) = bc + bk – ck – k2 = bc + k(b – c) – k2 ≤ bc (vì k ( N và b ≤ c)
Vậy ad ≤ bc (ĐPCM) ( 0,75 đ)
Câu 3: Từ a3 + b3  = 2 nên
Ta có: a3 + b3 > 0 ( a3 > –b3 ( a > – b ( a + b > 0 (1) (0,5đ)
(a – b)2(a + b) ≥ 0 ( (a2 – b2)(a – b) ≥ 0 ( a3 + b3 – ab(a + b) ≥ 0 ( 0,5 đ)
( a3 + b3 ≥ ab(a + b) ( 3(a3 + b3) ≥ 3ab(a + b) (0,25đ)
( 4(a3 + b3) ≥ (a + b)3 ( 8 ≥ (a + b)3 ( a + b ≤ 2 (2) (0,5đ)
Từ (1) và (2) ( 0 < a + b ≤ 2. (0,25đ)
Câu 4 :Kẻ BI ( AC ( I là trung điểm AC. (0,5đ)
Ta có: ( ABD = ( CBE = 200 ( ( DBE = 200 (1)
( ADB = ( CEB (g–c–g) (0,5đ)
(